[ Español ]
Calculation of the most economical magnitude and
optimal relationship between the magnitudes of a
standard series
Applied to the case of electric power leads
In seeking to determine the most economical section of a power line,
pipe diameter of a hydroelectric station, capacity of a machine, or
ruggedness of a construction, in other words the magnitude of something whose
total cost results from two inversely varying addends, the initial or
start-up cost and the operating cost, the problem is generally posed
assuming a constant current, flow rate or output requirement, i.e. the
need to be met, or the service. So by varying the section of line
wires, the diameter of the pipe, etc., that is the magnitude, we can calculate
the value of the latter which minimizes total cost.
This system, the most widespread and which has given rise to such classic
formula as Lord Kelvin's, Bondschu's, Scott's and others', allows us to
determine the most economical magnitude, section, diameter, etc., but
it is not the most correct method, since it takes as a constant value
the service, whose demand generally increases with time, and as a variable
the magnitude of the object, which undoubtedly will be constant once chosen.
This method undoubtedly serves to calculate the most economical magnitude
for the carrying out of the service envisaged, but tells us nothing about
what will happen when this same service varies.
If we consider furthermore, that the posing of a problem obliges us to
estimate coefficients that vary across a wide range and whose real values
we cannot know a priori, it is clear that all calculation procedures like
the one described, which result in a single number, are not good procedures.
And particularly, as in this case, if they can be solved mathematically,
since what generally happens is that the calculator forgets the estimates
and simplifications made on posing the problem and accepts the end result
with all its decimal digits as something immutable.
SPECIFIC COST CURVES
If instead of working as described, we take as constants a series of magnitudes,
F1, F2, F3,... Fn, and establish for each the equation of total cost per
service unit C1/I, C2/I, C3/I,.... Cn/I, in other words the specific cost
according to service I, we obtain a series of curves which let us see the
problem in its full extension.
THE MOST ECONOMICAL MAGNITUDE
For the purposes of clarification, let us assume that we are trying to
calculate the most economical power line to carry a determined amount
of energy using the classical (usual) procedure, which takes service
as a fixed component.
The magnitude of the line will be dictated by the section of its wires, the
quality of its insulation and by its capacity to resist the most adverse
stress conditions. And its start-up cost FC will be greater the more these
characteristics expand.
Its operating cost VC, however, will be lower, since energy loss is less
when wires have a larger section, and maintenance costs will probably
likewise be lower when using higher-quality insulation and more resistant
support structures.
Estimating the prices of components for the different lines: the cost of
the money invested; depreciation period; the average price of energy loss;
and the root-mean-square (RMS) intensity corresponding to the transport envisaged,
we can plot curves for annual start-up costs FC (fixed costs), and operating
costs VC (variable costs) versus the Fn section of each line's wires.
These curves are analogous to FC/Io and VC/Io ( See
GRAPHICS ),
because, as this procedure takes the RMS intensity Io as constant,
dividing by this number only involves a change in the y-axis scale, and
does not alter the situation of the minimum value of the sum function and,
therefore, that of the most economical magnitude.
The total cost curve C/Io, has a minimum for the Fo value which is,
accordingly, the magnitude of the most economical section which solves
the problem.
If we plot the specific cost curve C/I corresponding to the wire section
line Fo, we can see that the minimum of C/Io=f(F) does not match the minimum
of C/I. In other words, the most economical line for a given RMS intensity
Io, performs more economically still with a higher intensity Im.
Or, stated more generally and abstractly, the question of the most
economical magnitude for a given service tends to give an even more
economical result when the service reaches a rather higher value.
Of course, for this higher service value there is also a higher magnitude value
which gives an even more economical result, and so on.
Perhaps all this becomes clearer if we observe that these two plots, the
left one and the right, are intersections of the surface C/I=f(I,F)
with planes I=constant and F=constant. And, naturally, the minimum values
of these two intersections will not necessarily coincide.
The right-hand plot, the one that we advocate, gives us the annual cost
according to RMS intensity, whatever it may be. And if we presuppose a
determined increasing law of this intensity in time, we can analyze the
economic result over a selected period, and deduce, by plotting curves C/I=f(I)
corresponding to several different section lines, which is the most
economical over this period, precisely the problem we normally face.
OPTIMAL RELATIONSHIP BETWEEN THE VARIABLES OF A STANDARD SERIES
We can now explore the application of this specific costs system in
determining the relationship that should exist between each two
consecutive magnitudes within a standard series.
In the example we are looking at, based on the sections of three-phase
power line wires, the general formula for the, Annual Specific Cost of
each line is:
Cen = [T x (Cn/I) x 0.01]+[3 x 8760 x 0.001 x R x P x (I/Fn)]
In which the variables are:
Cen = C / I = Annual Specific Cost ( kpta / A km year )
T = Annual repayment, interest charges and expenses ( % )
Cn = Total cost of line n construction ( kpta / km )
I = RMS intensity of each wire ( A )
R = Resistivity of wires ( Ohm mm² / km )
P = Cost of energy loss ( pta / kWh )
Fn = Section of each line n wire ( mm² )
And the constants:
0.01 , factor to transform the annual % to amount per unit
3 , number of wires in each line Ln
8760 , total hours in a year
0.001, factor to transform Wh into kWh
We take as the smallest section, F1, the regulatory minimum of 10 mm² , and
as successive sections 20, 40 and 80 mm², i.e. four sections on a
geometric progression of 2.
We estimate the construction costs Cn of these four lines as:
38, 58, 92, and 155 kpta / km respectively.
( 1963 ! )
We set annual amount T at 17 %
The average price of energy loss P, is 0.60 pta / kwh
And the resistivity of copper R, 17.8 Ohm mm² / km
From these data we obtain the curves of figure 2, whereby we can deduce
that up to 16 A RMS intensity, the most economical is the
10 mm² line; between 16 and 30 A, the 20 mm² line; from 30 to 56 A, the
40 mm² line, and from 56 A onwards, the 80 mm² line.
It may seem strange, but the reality is that this series of just four
sections covers the field of intensities up to 120 A, with theoretical
maximum cost increases, in relation to the envelope of all possible curves,
of 5 % solely at the points corresponding to 16, 30, 56 and 120 A
(note the constancy of the increases with the geometric progression chosen).
Would it be economical to reduce the progression ratio, in order to
reduce these theoretical increases, and thereby secure a greater number
of sections?
In a specific case like, for instance, an electrical power distribution
company, it would not be hard to compare the total cost incurred by these
random increases, with the known cost of the fixed assets needed to store
a greater number of sections in its warehouses.
It is likely that even this series would be less economical that
another with a larger interval, for example of 10, 30 and 90 mm²
(progression ratio 3) or perhaps 10, 40 and 160 (ratio of 4), whose
maximum theoretical increases, in relation to the envelope, would be
around 15 % .
We should not forget, furthermore, that these curves were obtained by
giving each coefficient a fixed numerical value more or less close to
its real value.
If we had taken the alternative route of starting from a list of probable
values for each coefficient and establishing each series of the same by
making every possible combination, each curve would have an infinite
number of variants, and plotting it would be like working with a wide
paintbrush instead of a sharp pencil.
The intersection points would not be so precise, and nor would the costs,
and we would see even more clearly how unnecessary it is to have a lot of
sections.
Looking at the case of underground power cables, we can deduce the need
for a greater interval in section series, since the decrease in their
number via nationwide standardization would undoubtedly bring down prices
and enhance their availability beyond today's.
Would it not be preferable to have a small variety of sections in warehouses
rather than a wide variety just in catalogues ?
CONCLUSIONS
The following conclusions can be drawn from these deliberations:
1) When calculating the most economical magnitude of something whose
start-up and operating costs vary inversely, as tends to happen, the
problem should be analyzed by means of specific cost curves, since this
system offers an economic result for any given period of time, even though the
service magnitude may vary, as nearly always occurs.
2) With specific cost curves we can determine the optimal relationship
between two consecutive values in a standard series of magnitudes in order
to obtain the most economical efficiency.
3) This most economical interval is generally much larger than may
initially appear. In the case of standardization of power line wires, we
can affirm that the optimal section series should be a geometrical
progression in the ratio of 2 or 3.
[ English ]
Determinación de la magnitud más económica
y de la relación óptima entre las magnitudes de una
serie normalizada.
Aplicación al caso de conductores de líneas
eléctricas
GENERALIDADES
Cuando se trata de determinar la sección más económica de una línea
eléctrica, o el diámetro de la tubería de una central hidráulica, o
la potencia de una máquina, o el grado de robustez de una construcción,
es decir, la magnitud de algo cuyo coste total se compone de dos
sumandos, el coste de establecimiento y el coste de explotación,
que varían inversamente, se suele plantear el problema suponiendo
constante la intensidad que ha de circular por la línea, el caudal que
ha de pasar por la tubería, el trabajo que ha de realizar la máquina,
etc., es decir, la necesidad a cubrir, o sea el servicio, y variando
entonces la sección de los conductores de la línea, el diámetro de la
tubería, etc., es decir la magnitud, se llega a determinar el valor de
ésta que hace mínimo el coste total.
Este sistema, que es el más usual y en el que están basadas fórmulas
tan clásicas como la de Lord Kelvin, la de Bondschu, la de Scott y
otras, aunque permite determinar la magnitud, sección, diámetro, etc.,
más económica, no es el método más correcto ya que en él se toma como
constante el servicio, que en general crece con el tiempo, y como
variable la magnitud de la cosa, la cual sin duda será constante una
vez elegida.
Este método sirve indudablemente para calcular la magnitud más
económica para realizar el servicio previsto, pero no nos permite
conocer lo que sucederá cuando ese servicio varíe.
Si nos fijamos además, en que al plantear cualquier problema nos
vemos obligados a estimar coeficientes que oscilan entre amplios
márgenes y cuyos valores reales no podemos conocer a priori,
comprenderemos que todos los procedimientos de cálculo como el
descrito, que nos dan como resultado un solo número, no son buenos
procedimientos. Y, sobre todo, si son también como éste, susceptibles
de resolverse matemáticamente, ya que en la mayoría de los casos, el
calculista se olvida de las estimaciones y simplificaciones que hizo
al plantear el problema y toma como inamovible el resultado final con
todos sus decimales.
LAS CURVAS DE COSTES ESPECIFICOS
Si en vez de operar de la manera indicada tomamos como constantes una
serie de magnitudes, F1, F2, F3,... Fn, y establecemos para cada una
de ellas la ecuación del coste total por unidad de servicio C1/I,
C2/I, C3/I, .... Cn/I, o sea el coste específico en función del
servicio I, obtendremos una serie de curvas que nos permiten ver el
problema en toda su extensión.
MAGNITUD MAS ECONOMICA
Supongamos, para aclarar lo expuesto, que tratamos de determinar la
línea eléctrica más económica para un transporte de energía
determinado empleando el procedimiento clásico (usual), que es en el
que considera fijo el servicio.
La magnitud de la línea vendrá dada por la sección de sus
conductores, por la calidad de su aislamiento y por su capacidad para
resistir las solicitaciones más desfavorables. Y su coste
de establecimiento CF será mayor a medida que aumentemos estas
características.
Sin embargo su coste de explotación VC será menor al aumentar
aquéllas, pues las pérdidas de energía disminuyen cuando la sección de
los conductores es mayor, y los gastos de mantenimiento serán también
probablemente menores al dar más calidad a su aislamiento y mayor
resistencia a sus estructuras de apoyo.
Estimando los precios de los componentes de las diferentes líneas: el
precio del dinero invertido; el periodo de amortización; el precio
medio de la energía de pérdidas; y la intensidad media cuadrática
correspondiente al transporte previsto, podemos representar las curvas
de los costes anuales de establecimiento FC (costes fijos), y de
explotación VC (costes variables) en función de la sección Fn de los
conductores de cada línea.
Estas curvas son análogas a las FC/Io y VC/Io (
Ver GRAPHICS ), (figura 1, lado izquierdo), ya que, como en este
procedimiento se considera constante la intensidad media cuadrática
Io, el dividir por este valor sólo supone un cambio de escala de
ordenadas pero no altera la situación del valor mínimo de la
función suma y, por lo tanto, del valor de la magnitud
más económica.
Dicha curva de costes C/Io, tiene un mínimo para el valor Fo que es,
por lo tanto, la magnitud de la sección más económica que resuelve
el problema.
Si hacemos la representación de la curva de coste específico C/I
correspondiente a la línea de sección de conductores Fo (figura 1,
lado derecho), podremos observar que el mínimo de C/Io=f (F) no se
corresponde con el mínimo de C/I, es decir que la línea más económica
para una intensidad media cuadrática Io dada, tiene un funcionamiento
más económico todavía con una intensidad mayor Im.
O, expresado de un modo más abstracto y general, la cosa de magnitud
más económica para un servicio dado, da en general un resultado aún
más económico cuando el servicio alcanza un cierto valor superior.
Claro es que, lógicamente, para este valor superior del servicio
existe otra cosa, de magnitud también superior, que da un resultado
todavía más económico, y así sucesivamente.
Todo esto puede quizá quedar más claro observando que estas dos
representaciones, la de la izquierda y la de la derecha, son las
intersecciones de la superficie C/I=f (I, F) con los planos
I=constante y F=constante. Y, naturalmente, los valores mínimos de
esas dos intersecciones no tienen por qué coincidir.
La representación de la derecha, que es la que nosotros propugnamos,
nos permite conocer el coste anual en función de la intensidad media
cuadrática cualquiera que sea esta. Y si presuponemos una determinada
ley de crecimiento, podemos analizar el resultado económico en un
periodo determinado, y deducir, representando las curvas C/I=f (I)
correspondientes a varias líneas de secciones diferentes, cual es la
más económica durante ese periodo, que es el problema que generalmente
se nos presenta.
RELACION OPTIMA ENTRE LAS MAGNITUDES DE UNA SERIE NORMALIZADA
Veamos ahora la aplicación de este sistema de costes específicos a la
determinación de la relación que debe existir entre cada dos
magnitudes consecutivas correspondientes a una serie normalizada.
En el ejemplo que estamos explicando, de secciones de conductores de
líneas eléctricas trifásicas, la fórmula
general del Coste Específico Anual de cada Línea, es:
Cen = T x (Cn/I) x 0.01 + 3 x 8760 x 0.001 x R x P x (I/Fn)
En la que las variables son:
Cen = C / I = Coste Específico Anual
(kpta / A km año)
T = Anualidad de amortización, intereses y gastos (%)
Cn = Coste total de construcción de la línea n (kpta / km)
I = Intensidad media cuadrática por cada conductor (A)
R = Resistividad de los conductores (Ohm mm² / km)
P = Coste de la energía de pérdidas (pta / kWh)
Fn = Sección de cada conductor de la línea n (mm²)
Y las constantes:
0.01, factor para pasar la anualidad de % a tanto por unidad
3, número de conductores de cada línea
Ln
8760, las horas totales de un año
0.001, factor para pasar de Wh a kWh
Fijamos como menor sección, F1 la mínima reglamentaria de 10 mm² , y como
secciones sucesivas las de 20, 40 y 80 mm², o sea,
cuatro secciones en progresión geométrica de razón 2.
Los costes de construcción Cn de estas cuatro líneas los estimamos en:
38, 58, 92 y 155 kpta / km
respectivamente. (1963 !)
La anualidad T la fijamos en el 17%
El precio medio P de la energía de pérdidas en 0.60 pta / kWh
Y la resistividad R del cobre, 17.8 Ohm mm² / km
Con estos datos se obtienen las curvas de la figura 2, a la vista de
las cuales podemos deducir que hasta 16 A de intensidad media
cuadrática, la línea más económica es la de 10 mm²; entre 16 y 30 A,
la de 20 mm²; de 30 a 56 A, la de 40 mm², y desde 56 A en adelante,
la de 80 mm² resulta ser más económica que las anteriores.
Posiblemente parezca extraño, pero la realidad es que con esta serie
de sólo cuatro secciones, queda cubierto el campo de intensidades
hasta 120 A, con incrementos máximos teóricos de coste,
con relación a la envolvente de todas las curvas posibles, del 5%
únicamente en los puntos correspondientes a 16, 30, 56 y 120 A
(obsérvese la constancia del incremento al haber elegido una
progresión geométrica).
¿Sería económico disminuir la razón de la progresión para reducir
estos incrementos teóricos, disponiendo de un mayor número de
secciones?
En un caso concreto, por ejemplo, el de una empresa distribuidora de
energía eléctrica, no resultará difícil comparar el coste total que
pueden acarrearle estos aleatorios incrementos, con el coste cierto de
las inmovilizaciones necesarias para mantener un mayor número de
secciones en sus almacenes.
Es muy posible que aún esta serie resulte menos económica que otra de
mayor intervalo, por ejemplo de 10, 30 y 90 mm² (progresión de
razón 3) o quizá de 10, 40 y 160 (de razón 4), con la cual, los
incrementos teóricos máximos, con relación a la envolvente, serían
del orden del 15%.
No debemos olvidar, además, que estas curvas se obtuvieron dando a cada
uno de los coeficientes un valor numérico fijo más o menos próximo a
su valor real.
Si en vez de hacerlo así hubiésemos partido de una lista de valores
probables para cada coeficiente y fijando cada serie de estos haciendo
todas las combinaciones posibles, cada curva tendría una infinidad de
variantes y su representación gráfica sería equivalente a haberlas
trazado con una brocha en vez de con un lápiz afilado.
Entonces, los puntos de intersección ya no serían tan precisos, ni
los costes tampoco, y veríamos todavía más clara la inutilidad de
disponer de muchas secciones.
Estudiando el caso de cables eléctricos subterráneos, se deduce la
necesidad de un mayor intervalo en las series de secciones, ya que la
disminución de su número por medio de una normalización a escala
nacional, se traduciría en una indudable reducción de precios y en
una disponibilidad que actualmente no existe.
¿No sería preferible que hubiese en los almacenes un reducido número
de secciones en vez de haber tantas diferentes pero sólo en los
catálogos?
CONCLUSIONES
De lo anteriormente expuesto se pueden sacar las siguientes
conclusiones:
1) Cuando se trate de determinar la magnitud más económica de algo
cuyos costes de establecimiento y de explotación varíen en sentido
inverso, como es normal que suceda, debe analizarse el problema por
medio de las curvas de costes específicos, ya que este sistema permite
conocer el resultado económico correspondiente a un periodo de tiempo
cualquiera, aunque varíe la magnitud del servicio como casi
siempre ocurre.
2) Con las curvas de costes específicos se puede determinar la
relación que debe haber entre dos términos consecutivos de una serie
de magnitudes de una normalización para obtener el máximo rendimiento
económico.
3) Este intervalo más económico es, en general, mucho mayor de lo que
a primera vista puede parecer. Y en particular, en una normalización
de conductores de líneas eléctricas, puede asegurarse que la serie
óptima de secciones deberá ser una progresión geométrica de razón 2 ó 3.
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